Question

8．如图，⊙O内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M，AP为⊙O的切线，∠BAP=∠BAC
（I）证明：△ABM≌△DBA；
（II ）若BM=2，MD=3，求BC的长．

Answer 1

分析 （I）运用圆的弦切角定理和相似三角形的判定定理：对应角相等，则三角形相似，即可得证；
（II ）由相似三角形的性质和圆的弦切角定理，可得AB=$\sqrt{10}$，∠BAP=∠BCA，再由等腰三角形的性质即可得到所求长．

解答 解：（I）证明：AP为⊙O的切线，
可得∠BAP=∠BDA，又BAP=∠BAC，
则∠BDA=∠BAC，
又∠BAC=∠BDA，
即∠BAM=∠BDA，
在△ABM和△DBA中，∠BAM=∠BDA，∠MBA=∠ABD，
则△ABM～△DBA；
（II ）由△ABM～△DBA，可得
$\frac{AB}{DB}$=$\frac{BM}{BA}$，
由BM=2，MD=3，
可得AB²=DB•BM=5×2=10，
解得AB=$\sqrt{10}$，
AP为⊙O的切线，可得∠BAP=∠BCA，
又∠BAP=∠BAC，
即∠BCA=∠BAC，
则BC=AB=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查圆的弦切角定理和相似三角形的判定和性质的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．