Question

13．如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，DE=3．
（Ⅰ）求证：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求证：平面ACE⊥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由线面垂直的性质得AB∥CD，再由线面平行的判定得AB∥平面CDE；
（Ⅱ）由CD⊥平面ADE，得CD⊥AE．再由线面垂直的判定得AE⊥平面CDE，进一步由面面垂直的判定得平面ACE⊥平面CDE；
（Ⅲ）把三棱锥E-ACD的体积转化为C-AED的体积求解得答案．

解答 证明：（Ⅰ）∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
∴AB∥CD，
∵AB?平面CDE，CD?平面CDE，
∴AB∥平面CDE；
（Ⅱ）∵CD⊥平面ADE，AE?平面ADE，
∴CD⊥AE．
又∵AE⊥DE，CD∩DE=D，CD，DE?平面CDE，
∴AE⊥平面CDE．
又∵AE?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面CDE；
解：（Ⅲ）∵CD⊥平面ADE，
∴CD是三棱锥C-AED的高，
在Rt△AED中，$AE=\sqrt{A{D^2}-E{D^2}}=\sqrt{{6^2}-{3^2}}=3\sqrt{3}$，
∴${S_{△AED}}=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，
∴四棱锥E-ACD的体积${V_{E-ACD}}={V_{C-AED}}=\frac{1}{3}{S_{△AED}}•CD=\frac{1}{3}×\frac{{9\sqrt{3}}}{2}×6=9\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的判定，考查棱锥体积的求法，训练了等积法，是中档题．