Question

15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=-1，有xf′（x）＞f（x），则不等式f（x）＞x的解集是（　　）

• A． （-1，0）
• B． （1，+∞）
• C． （-1，0）U（1，+∞）
• D． （-∞，-1）U（1，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，得到函数g（x）的单调性，通过讨论x＞0和x＜0的情况，求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，
函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴x＞0时，g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），
∴g（x）在R上是偶函数，
∴g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∵f（-1）=-f（1）=-1，∴f（1）=1，
∴g（-1）=g（1）=1，
x＞0时，由f（x）＞x，得$\frac{f（x）}{x}$＞1，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞1=g（1），解得：x＞1，
x＜0时，由f（x）＞x，得$\frac{f（x）}{x}$＜1，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＜1=g（-1），解得：0＜x＜1，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键．