Question

已知圆O的半径是1，pA，pB为该圆的两条切线，那么

PA

•

PB

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：设出圆心到直线的距离，从两个向量的数量积入手，把数量积的式子用定义写出来，根据余弦定理写出角的表示形式，化简整理，依据是过圆外一点所引的两条切线相等，整理成最简形式，根据基本不等式得到结果．

解答：解：设圆心到直线AB的距离是d，

PA

•

PB

=

PA

2cos∠APB
=PA2•

PA2+PB2-AB2

2PA•PB

=PA2-

1

2

AB2
=OP2-1-

1

2

×4(12-d2)
=op²+2d²-3
≥2

OP2•2d2

-3
≥2

2

-3   
故答案为：2

2

-3．

点评：本题考查向量的数量积的应用，本题是一个综合题目，题目中要用到直线与圆的位置关系，这是解题的关键，注意数量的运算．