题目内容

设双曲线 $数学公式$ 与 $数学公式$ 离心率分别为e₁，e₂，则当a，b变化时，e₁+e₂最小值为________．

$\text{[math]}$
分析：先根据双曲线的标准方程求出e₁和e₂，根据 $\text{[math]}$ 并利用基本不等式求出e₁e₂≥2，再由e₁+e₂
$\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，求出其最小值．
解答：由题意可得 e₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，e₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ ，∴e₁e₂≥2，
∴e₁+e₂ $\text{[math]}$ ，当且仅当a=b时，等号成立．
故e₁+e₂最小值为 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查双曲线的标准方程以及双曲线的简单性质的应用，求出e₁和e₂之后，根据a，b，c之间的数量关系
利用均值不等式推导e₁+e₂的最小值．

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