Question

16．已知圆C的圆心在直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与圆（x-2）²+（y-3）²=8相外切，若过点P（-1，1）的直线l与圆C交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为y=1．

Answer 1

分析 根据题意先求圆心，利用与另外一个圆相外切，求出半径，直线与圆相交建立关系．动点考查，求方程．

解答 解：由题意：圆C的圆心在直线x-y+1=0与x轴的交点，则圆心为（-1，0），设半径为r．
圆C与圆（x-2）²+（y-3）²=8相外切，圆心距等于两圆半径之和，∴r+$2\sqrt{2}$=$3\sqrt{2}$
解得：r=$\sqrt{2}$
所以圆C：（x+1）²+y²=2
P（-1，1）在圆C内．
由圆的弦长性质知道，弦长最短，对应的圆心角最小，当∠ACB最小时，弦长最短，过某点的最短弦长是与过该点的直径垂直．
∵过P（-1，1）的直径方程为x=-1，∴过P（-1，1）的最短弦方程为y=1，此时∠ACB最小．

点评 本题考查了圆与直线的关系的运用，过某点的弦长的性质．根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．属于基础题．