Question

设是实数，函数.

（1）试证：对任意，在R上为增函数；（2）是否存在，使为奇函数.

 

Answer 1

（1）略；（2）1.

【解析】

试题分析：（1）设且，用作差法，有，结合指数函数的单调性分析可得，可得f（x）的单调性且与a的值无关；

（2）根据题意，假设f（x）是奇函数，由奇函数的定义可得，f（﹣x）=﹣f（x），即

，对其变形，解可得a的值，即可得答案．

试题解析：（1）设且，

，

又由在R上为增函数，则，

由，可得，

则，

故f（x）为增函数，与a的值无关，，

即对于任意a，f（x）在R为增函数；

（2）若f（x）为奇函数，且其定义域为R，

必有有f（﹣x）=﹣f（x），

，变形可得2a==2，

解可得，a=1，

即当a=1时，f（x）为奇函数．

考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．