Question

6．函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}}$），g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}}$）-2m+3＞0，m＞0，对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，则实数m的取值范围是$[{1，\frac{4}{3}}]$．

Answer 1

分析 先分别确定函数的值域，再利用任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，使得f（x₁）=g（x₂）建立不等式，即可求得实数m的取值范围

解答 解：由题意：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}}$），
当x₂∈[0，$\frac{π}{4}}$]时，
则有：2x₂+$\frac{π}{3}}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
当2x₂+$\frac{π}{3}}$）=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2，
当2x₂+$\frac{π}{3}}$）=$\frac{5π}{6}$时，函数f（x）取得最小值值为1，
所以：对于x₂∈[0，$\frac{π}{4}}$]，f（x）的值域为[1，2]．
函数g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}}$）-2m+3，m＞0，
当x₁∈[0，$\frac{π}{4}}$]时，
则有：2x₁-$\frac{π}{6}}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
当2x₁-$\frac{π}{6}}$=$\frac{π}{3}$时，函数g（x）取得最小值为：$-\frac{3}{2}$m+3．
当2x₁-$\frac{π}{6}}$=0时，函数g（x）取得最大值为：-m+3．
所以：对于x₁∈[0，$\frac{π}{4}}$]，g（x）的值域为[$-\frac{3}{2}$m+3，-m+3]．
任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，则有：[$-\frac{3}{2}$m+3，-m+3]⊆[1，2]．
即：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}m+3≥1}\\{-m+3≤2}\end{array}\right.$
解得：1$≤m≤\frac{4}{3}$
故答案为$[{1，\frac{4}{3}}]$

点评 本题考查三角函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，正确求函数的值域是关键．属于基础题．