Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0.

(1)求双曲线C的方程;

(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.

Answer 1

（1）=1（2）k的取值范围是(-∞,- )∪(-,0)∪(0, )∪(,+∞)

解析:

（1）设双曲线C的方程为=1（a＞0,b＞0）.

由题设得    解得

所以双曲线C的方程为=1.

（2）设直线l的方程为y=kx+m (k≠0).

点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的坐标满足方程组

① ②

                             

将①式代入②式，得-=1,整理得

(5-4k²)x²-8kmx-4m²-20=0.

此方程有两个不等实根，于是5-4k²≠0,且

Δ=(-8km)²+4(5-4k²)(4m²+20)＞0,

整理得m²+5-4k²＞0.                                       ③

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x₀,y₀）满足x₀==,y₀=kx₀+m=.

从而线段MN的垂直平分线的方程为y-.

此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为,.

由题设可得·=.整理得m²=,k≠0.

将上式代入③式得+5-4k²＞0,

整理得(4k²-5)(4k²-|k|-5)＞0,k≠0.

解得0＜|k|＜或|k|＞.

所以k的取值范围是(-∞,- )∪(-,0)∪(0, )∪(,+∞).