Question

10．在平面直角坐标系中，已知动点T到点A（-4，0），B（-1，0）的距离比为2．
（1）求动点T的轨迹方程Γ；
（2）已知点P是直线l：y=x与曲线Γ在第一象限内的交点，过点P引两条直线分别交曲线Γ于Q，R，且直线PQ，PR的倾斜角互补，试判断直线QR的斜率是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设T（x，y），由题意知：|TA|=2|TB|，由此即可求得曲线C的方程；
（2）确定Q，R的坐标，从而可得直线QR的斜率．

解答 解：（1）设T（x，y），由题意知：|TA|=2|TB|．
即$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，化简得x²+y²=4，即为动点T的轨迹方程．
（2）直线QR的斜率为定值1．证明过程如下：
当x=y时，代入x²+y²=4，得P（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）（第一象限内）．
显然，直线PQ的斜率存在，不妨设直线PQ：y=k（x-$\sqrt{2}$）+$\sqrt{2}$，Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
联立圆的方程，得（1+k²）x²-2$\sqrt{2}$k（k-1）x+2（k²-2k-1）=0．
则x₁=$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}-2k-1）}{1+{k}^{2}}$，y₁=-$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}+2k-1）}{1+{k}^{2}}$．
即Q（$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}-2k-1）}{1+{k}^{2}}$，-$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}+2k-1）}{1+{k}^{2}}$）．
同理，直线PR的斜率为-k，用-k代替k，则R（$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}+2k-1）}{1+{k}^{2}}$，-$\frac{\sqrt{2}（{k}^{2}-2k-1）}{1+{k}^{2}}$）．
那么直线QR的斜率为1为定值．

点评 本题考查轨迹方程的求解，考查直线的斜率，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．