Question

13．若函数f（x）=x²-2ax+3为定义在[-2，2]上的函数．
（1）当a=1时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）若f（x）的最大值为M，最小值为m，函数g（a）=M-m，求g（a）的解析式，并求其最小值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质即可求出函数的最值，
（2）需要分类讨论，根据对称轴和函数的单调性即可求出最值，即可求出g（a）的解析式，再分别求出最小值，即可得到答案．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-2x+3的对称轴为x=1，
∴f（x）在[-2，1]上单调递减，在（1，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（-2）=4+4+3=11，f（x）_min=f（1）=1-2+3=2，
（2）∵f（x）=x²-2ax+3的对称轴为x=a，
当a≤-2时，f（x）在[-2，2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（-2）=4+4a+3=4a+7，f（x）_max=f（2）=-4a+7，
∴g（a）=M-m=-4a+7-4a-7=-8a，
当a≥2时，f（x）在[-2，2]上单调递减，
∴f（x）_max=f（-2）=4a+7，f（x）_min=f（2）=-4a+7，
∴g（a）=M-m=4a+7-4a-7=8a，
当-2≤a＜0时，f（x）在[-2，a）上单调递减，在（a，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（2）=-4a+7，f（x）_min=f（a）=-a²+3，
∴g（a）=M-m=-4a+a²+3，
当0≤a＜2时，f（x）在[-2，a）上单调递减，在（a，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（-2）=4a+7，f（x）_min=f（a）=-a²+3，
∴g（a）=M-m=4a+a²+3，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{8a，a≥2}\\{{a}^{2}+4a+3，0≤a＜2}\\{{a}^{2}-4a+3，-2＜a＜0}\\{-8a，a≤-2}\end{array}\right.$
当a≥2，g（a）_min=16，
当0≤a＜2时，g（a）_min=g（0）=3，
当-2＜a＜0时，g（a）_min=g（0）=3，
当a≤-2时，g（a）_min=16，
综上所述g（a）_min=3

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查函数的最值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用和函数的单调性的运用，属于中档题．