Question

16．自地面垂直向上发射火箭，火箭的质量为m，试计算将火箭发射到距地面的高度为h时所做的功．

Answer 1

分析 根据地球吸引物体的力为f（r）=mg$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$，以及定积分的应用即可求出．

解答 解：地球吸引物体的力为f（r）=mg$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$，其中m表示物体的质量，
R表示地球的半径，r表示地球中心到物体的距离．
将[R，R+h]分成n等份，
得△r_i=$\frac{h}{n}$，r_i=R+i$\frac{h}{n}$．
故f（r_i）=mg$\frac{{R}^{2}}{（R+i\frac{h}{n}）^{2}}$．
故物体用以克服地球引力所做的功为
W=$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$f（r_i）△r_i=$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$mg$\frac{{R}^{2}}{（R+i\frac{h}{n}）^{2}}$•$\frac{h}{n}$
=mg²$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{r}_{i}^{2}}$△r_i=mg²${∫}_{R}^{R+h}$$\frac{1}{{r}^{2}}$dr=mg²（$\frac{1}{R}$-$\frac{1}{R+h}$）．

点评 本题考查了定积分在物理中的应用，属于中档题