Question

6．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；
（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AE⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面ADE，再由AB∥CD，能证明AB⊥平面ADE．
（Ⅱ）凸多面体ABCDE的体积V=V_B-CDE+V_B-ADE，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，
∴CD⊥平面ADE，
又在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴AB⊥平面ADE．…（6分）
解：（Ⅱ）连接BD，设B到平面CDE的距离为h，
∵AB∥CD，CD?平面CDE，
∴AB∥平面CDE，又AE⊥平面CDE，
∴h=AE=1，又${S}_{△CDE}=\frac{1}{2}CD×DE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴${V}_{B-CDE}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又${V}_{B-ADE}=\frac{1}{3}×{S}_{△ADE}×AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴凸多面体ABCDE的体积V=V_B-CDE+V_B-ADE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，注意空间思维能力的培养．