Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1（m，n$为常数，m＞n＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2n-m．

Answer 1

分析 由题意画出图形，再由数量积的坐标运算可得答案．

解答 解：如图，F₁（-c，0），F₂（c，0），

设P（x₀，y₀），则${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}={b}^{2}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（x₀+c，y₀）•（x₀-c，y₀）=${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-{c}^{2}$=b²-c²=2b²-a²=2n-m．
故答案为：2n-m．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量在圆锥曲线问题中的应用，是中档题．