题目内容
5．若数列{an}中不超过f（m）的项数恰为bm（m∈N*），则称为数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{an}生成{bm}的控制函数．（1）已知an=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；
（2）已知an=2n，且f（m）=m，求{bm}的前m项和Sm；
（3）已知an=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{bm}中，b1，b2，b5是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．
分析 （1）令an≤bm，求出n的最大值即可得出bm；
（2）令an≤bm，求出n的最大值即可得出bm可得bm．对m进行分类讨论得出Sm；
（3）由定义可知bm为不超过log2Am3的最大整数，故而d=b2-b1=3，利用定义列方程组得出A的范围，根据b2≤10≤b3得出关于A的不等式，得出b1的取值范围，从而得出A的范围．
解答 解：（1）令n2≤m2，得n≤m，∴bm=m，
∴b1=1，b2=2，b3=3．
（2）令2n≤m，解得n$≤\frac{m}{2}$，∴bm=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-1}{2}，m为奇数}\\{\frac{m}{2}，m为偶数}\end{array}\right.$．
当m为偶数时，Sm=（0+1+2+3+…+$\frac{m-2}{2}$）+（1+2+3+…+$\frac{m}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{m-2}{2}$）×$\frac{m-2}{2}$+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{m}{2}$）×$\frac{m}{2}$=$\frac{{m}^{2}}{4}$．
当m为奇数时，Sm=（0+1+2+…+$\frac{m-1}{2}$）+（1+2+3+…+$\frac{m-1}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{m-1}{2}$）×$\frac{m-1}{2}$×2=$\frac{{m}^{2}-1}{4}$．
∴Sm=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}-1}{4}，m为奇数}\\{\frac{{m}^{2}}{4}，m为偶数}\end{array}\right.$．
（3）令2n≤Am3，解得n≤log2（Am3）．
∴bm=[log2Am3]=[log2A+3log2m]，
∴b1=[log2A]，b2=3+[log2A]，
∴d=b2-b1=3，
∴b5=6+[log2A]．
设b1=[log2A]=t
则$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{t}≤A＜{2}^{t+1}}\\{{2}^{t+3}≤8A＜{2}^{t+4}}\\{{2}^{t+6}≤125A＜{2}^{t+7}}\end{array}\right.$
∴2t≤A＜$\frac{128}{125}•{2}^{t}$．
∵b3=[log227A]=10，
∴210≤27A＜211，∴$\frac{{2}^{10}}{27}≤$A＜$\frac{{2}^{11}}{27}$，
∵{bm=log2Am3}为非递减数列，
∴b2≤b3≤b5，
∴3+t≤10≤6+t，
∴4≤t≤7，
当t=4时，$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{4}≤A＜\frac{128}{125}•{2}^{4}}\\{\frac{{2}^{10}}{27}≤A＜\frac{{2}^{11}}{27}}\end{array}\right.$，无解；
当t=5时，$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{5}≤A＜\frac{128}{125}•{2}^{5}}\\{\frac{{2}^{10}}{27}≤A＜\frac{{2}^{11}}{27}}\end{array}\right.$，无解；
当t=6时，$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{6}≤A＜\frac{128}{125}•{2}^{6}}\\{\frac{{2}^{10}}{27}≤A＜\frac{{2}^{11}}{27}}\end{array}\right.$，∴26≤A＜$\frac{128}{125}•{2}^{6}$．
∵A∈N*，∴A=64或A=65．
当t=7时，$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{7}≤A＜\frac{128}{125}•{2}^{7}}\\{\frac{{2}^{10}}{27}≤A＜\frac{{2}^{11}}{27}}\end{array}\right.$，无解．
综上，A=64或A=65，d=3．
点评 本题考查了递推关系、数列的通项公式、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| y | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 5.5 |
（2）求出y关于x的回归直线方程；
（3）预计生产100吨产品需要能耗多少吨？
提示：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
命题①：x⊕1=x；命题②：x2⊕x=x．（ ）
| A． | 命题①和命题②都成立 | B． | 命题①和命题②都不成立 | ||
| C． | 命题①成立，命题②不成立 | D． | 命题①不成立，命题②成立 |
| A． | 4 | B． | 2 | C． | $4+2\sqrt{5}$ | D． | $2+\sqrt{5}$ |
| A． | （2$\sqrt{2}$，+∞） | B． | （-1，2$\sqrt{2}$） | C． | （1，+∞） | D． | （-3，+∞） |
