题目内容
已知一动圆M，恒过点F（1，0），且总与直线l：x=﹣1相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）探究在曲线C上，是否存在异于原点的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当y1y2=﹣16时，直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）探究在曲线C上，是否存在异于原点的A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当y1y2=﹣16时，直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，
所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．
所以，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，且
，p=2，
所以所求的轨迹方程为y2=4x
（2）假设存在A，B在y2=4x上，
所以，直线AB的方程：
，
即
即AB的方程为：
，
即（y1+y2）y﹣y12﹣y1y2=4x﹣y12
即：（y1+y2）y+（16﹣4x）=0，
令y=0，得x=4，所以，无论y1，y2为何值，直线AB过定点（4，0）
所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．
所以，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，且
，p=2，所以所求的轨迹方程为y2=4x
（2）假设存在A，B在y2=4x上，
所以，直线AB的方程：
，即
即AB的方程为：
，即（y1+y2）y﹣y12﹣y1y2=4x﹣y12
即：（y1+y2）y+（16﹣4x）=0，
令y=0，得x=4，所以，无论y1，y2为何值，直线AB过定点（4，0）
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