Question

（本小题满分12分）数列中，已知，时，．数列满足：．

（Ⅰ）证明：为等差数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ）详见解析，；（Ⅱ） ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）本题的落脚点在上，所以首先从条件的特征入手，里面有因式，提示我们可以考虑在条件中构造，从而使条件特征显现出来，成为解题的突破口；（Ⅱ）充分利用（Ⅰ）中的结论并结合已知求出的通项，从而求得，将之代入题设中的不等式，通过一系列推理、化简、变形即可得出所求，变形过程应特别注意不等号两边的结构相似性．

试题解析：（Ⅰ）当时，

由，

，即时，，又，

数列是首项为2，公差为2的等差数列，

由等差数列的通项公式得：；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，

则，

由，得，

当时，；当时，

综上，存在符合条件的所有有序实数对为：．

考点：①根据递推公式，构造性求解数列通项；②等差数列的定义和通项公式；③等比数列的前项和公式；④不等式的基本性质；⑤变形、运算、比较的能力和技巧．