Question

2．已知函数f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明．

Answer 1

分析 用单调性定义来证明，先在给定区间上取两个变量，且界定大小，不妨设x₁＜x₂＜0则有-x₁＞-x₂＞0，再由“f（x）在（0，+∞）上是减函数”可得到f（-x₁）＞f（-x₂），然后由“f（x）是偶函数”转化为f（x₁）＜f（x₂），再由单调性定义判断．

解答 解：f（x）在（-∞，0）上是增函数（1分）
证明：设x₁＜x₂＜0则-x₁＞-x₂＞0（3分）
∵f（x）在（0，+∞）上是减函数
∴f（-x₁）＜f（-x₂）（7分）
又f（x）是偶函数
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数（12分）

点评 本题主要考查奇偶函数在对称区间上的单调性，结论是：偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区间上的单调性相同．