Question

11．双曲线C和椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=$\sqrt{2}$x，求双曲线C的方程．

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，根据双曲线的一条渐近线方程为y=$\sqrt{2}$x，设双曲线的方程为2x²-y²=λ，即$\frac{{x}^{2}}{\frac{λ}{2}}-\frac{{y}^{2}}{λ}$=1，从而可得$\frac{1}{2}$λ+λ=9，即可求出双曲线的方程．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1的焦点坐标为（±3，0），
∴双曲线的焦点坐标为（±3，0），
∵双曲线的一条渐近线方程为y=$\sqrt{2}$x，
∴设双曲线的方程为2x²-y²=λ，
即$\frac{{x}^{2}}{\frac{λ}{2}}-\frac{{y}^{2}}{λ}$=1
∴$\frac{1}{2}$λ+λ=9，
∴λ=6，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程，考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的焦点坐标是关键．