Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为AC的中点
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA₁上是否存在点P，使得CP⊥平面BDC₁？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）根据线面垂直的性质定理，建立方程关系进行求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：连接B₁C，与BC₁相交于O，连接OD，
∵BCC₁B₁是矩形，∴O是B₁C的中点，
又D是AC的中点，∴OD∥AB₁，
∵AB₁?平面BDC₁，OD?平面BDC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系如图，
则C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面BDC₁的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=3y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=x+3y=0}\end{array}\right.$，令x=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，$-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
则$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=（0，3，0）是平面ABC的一个法向量，
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{{C}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}C}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{{C}_{1}C}|}$=$\frac{-1}{\frac{7}{6}×3}$=-$\frac{2}{7}$，由题意知二面角C₁-BD-C是锐二面角，
∴二面角C₁-BD-C的余弦值为$\frac{2}{7}$．
假设侧棱AA₁上存在一点P（2，y，0），（0≤y≤3）使CP⊥平面BDC₁，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3（y-3）=0}\\{2+3（y-3）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{y=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，此时方程组无解，∴假设不成立，
即侧棱AA₁上是不存在点P，使得CP⊥平面BDC₁．

点评 本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．