Question

5．已知 f（x）、g（x）都是定义在 R 上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=a^x g（x），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，则关于x的方程abx²+$\sqrt{2}$x+2=0（b∈（0，1））有两个不同实根的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 f（x）=a^x•g（x），g（x）≠0，构造h（x）=a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$，又f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），利用导数可得：函数h（x）单调递减，0＜a＜1．利用$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，解得a，再求概率．

解答 解：∵f（x）=a^x•g（x），g（x）≠0，
∴h（x）=a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$，又f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），
∴h′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，∴函数h（x）单调递减，∴0＜a＜1．
$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，∴a+a^-1=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$．
关于x的方程abx²+$\sqrt{2}$x+2=0，即$\frac{1}{2}$bx²+$\sqrt{2}$x+2=0，$△=2-4•\frac{1}{2}b•2≥0$，∴$b≤\frac{1}{2}$，
∴关于x的方程abx²+$\sqrt{2}$x+2=0（b∈（0，1））有两个不同实根的概率为$\frac{\frac{1}{2}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
故选B．

点评 此题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，应用导数判断函数的单调性，考查概率的计算，是一道中档题．