题目内容
14．某综艺节目为增强娱乐性，要求现场嘉宾与其场外好友连线互动．凡是拒绝表演节目的好友均无连线好友的机会；凡是选择表演节目的好友均需连线未参加过此活动的3个好友参与此活动，以此下去．（Ⅰ）假设每个人选择表演与否是等可能的，且互不影响，则某人选择表演后，其连线的3个好友中不少于2个好友选择表演节目的概率是多少？
（Ⅱ）为调查“选择表演者”与其性别是否有关，采取随机抽样得到如表：
| 选择表演 | 拒绝表演 | 合计 | |
| 男 | 50 | 10 | 60 |
| 女 | 10 | 10 | 20 |
| 合计 | 60 | 20 | 80 |
②将此样本的频率视为总体的概率，随机调查3名男性好友，设X为3个人中选择表演的人数，求X的分布列和期望．
附：K2=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$；
| P（K2≥k0） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
分析 （Ⅰ）利用列举法，确定基本事件的个数，即可求出概率；
（Ⅱ）①根据2×2列联表，得到K2=$\frac{80（50×10-10×10）^{2}}{60×20×60×20}$≈8.9＞6.635，即可得出结论；
②由题意，每名男性选择表演的概率为$\frac{5}{6}$，则X～B（3，$\frac{5}{6}$），可得X的分布列和期望．
解答 解：（Ⅰ）这3位好友选择表演分别记为A，B，C，则$\overline{A}$，$\overline{B}$，$\overline{C}$分别表示这3位好友拒绝表演．这3位好友参与该活动的可能结果为{A，B，C}，{$\overline{A}$，B，C}，{A，$\overline{B}$，C}，{A，B，$\overline{C}$}，{$\overline{A}$，$\overline{B}$，C}，{A，$\overline{B}$，$\overline{C}$}，{$\overline{A}$，B，$\overline{C}$}，{$\overline{A}$，$\overline{B}$，$\overline{C}$}共有8种．其中3位好友不少于3位好友选择表演的可能结果有4种．根据古典概型公式，所求概率为P=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）①根据2×2列联表，得到K2=$\frac{80（50×10-10×10）^{2}}{60×20×60×20}$≈8.9＞6.635，所以有99%的把握认为“表演节目”与好友的性别有关．
②由题意，每名男性选择表演的概率为$\frac{5}{6}$，则X～B（3，$\frac{5}{6}$），
所以随机变量X的概率分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{216}$ | $\frac{5}{72}$ | $\frac{25}{72}$ | $\frac{125}{216}$ |
点评 本题考查概率的计算，考查X的分布列和期望，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．
| A． | $\overrightarrow{MA}$ | B． | $\overrightarrow{MB}$ | C． | $\overrightarrow{MC}$ | D． | $\overrightarrow{MD}$ |
如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b的值分别为84，48，则输出的a的值为（ ）| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{4}{9}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
| A． | $y=-\frac{1}{x}$ | B． | y=x | C． | y=log2|x-1| | D． | y=-sinx |