Question

已知函数f（x）=

log3x，x＞0 2x，x≤0

（Ⅰ）求f（f（

1

9

））的值；
（Ⅱ）若f（a）=

1

4

，求实数a的值；
（Ⅲ）求不等式f（x+1）＞

1

2

的解集．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由分段函数的特点代值计算即可；
（Ⅱ）f（a）=

1

4

可转化为

a＞0 log3a= 1 4

或

a≤0 2a= 1 4

，解不等式组可得；
（Ⅲ）不等式f（x+1）＞

1

2

可转化为

x+1＞0 log3(x+1)＞ 1 2

或

x+1≤0 2x+1＞ 1 2

，分别解不等式组可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

log3x，x＞0 2x，x≤0

，
∴f（

1

9

）=log₃

1

9

=-2，
∴f（f（

1

9

））=f（-2）=2^-2=

1

4

；
（Ⅱ）f（a）=

1

4

可转化为

a＞0 log3a= 1 4

或

a≤0 2a= 1 4

，
解得a=

4	3

或a=-2；
（Ⅲ）不等式f（x+1）＞

1

2

可转化为

x+1＞0 log3(x+1)＞ 1 2

或

x+1≤0 2x+1＞ 1 2

，
解得x＞

3

-1或-2＜x≤-1
∴所求不等式的解集为：{x|x＞

3

-1或-2＜x≤-1}．

点评：本题考查分段函数的值，涉及不等式的解法和分类讨论的思想，属基础题．