Question

15．已知函数f（x）=ax-lnx-1，若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+y-1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）函数g（x）=f（x）-m（x-1）（m∈R）恰有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求函数g（x）的单调区间及实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，根据$f'（2）=\frac{1}{2}$，求出a的值即可；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围结合g（x）的单调性，求出g（x）的极小值，结合极小值的正负，求出m的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
由$f'（x）=a-\frac{1}{x}$，且$f'（2）=\frac{1}{2}$，解得a=1．…（3分）
（2）因为g（x）=（1-m）（x-1）-lnx，x∈（0，+∞）
则$g'（x）=1-m-\frac{1}{x}=\frac{（1-m）x-1}{x}$．…（5分）
（ⅰ）当1-m≤0即m≥1时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减
此时只存在一个零点，不合题意．…（6分）
（ⅱ）当m＜1时，令g'（x）=0，解得$x=\frac{1}{1-m}$．…（7分）
当x变化时，g（x）与g'（x）的变化情况如下表：

x	（0，$\frac{1}{1-m}$）	$\frac{1}{1-m}$	$（\frac{1}{1-m}，+∞）$
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

由题意可知，$g{（x）_{极小}}=g（\frac{1}{1-m}）=m+ln（1-m）$．…（9分）
下面判断极小值的正负．
设h（m）=m+ln（1-m），m＜1         …（10分）
①当m=0时，h（0）=0，即g（x）_极小=0
此时g（x）恰有一个零点不合题意．    …（11分）
②当m≠0且m＜1时，$h'（m）=1-\frac{1}{1-m}=\frac{-m}{1-m}$
当m＜0时，h'（m）＞0；    当0＜m＜1时，h'（x）＜0
所以h（m）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）单调递减．
所以h（m）＜h（0）=0，此时g（x）恰有两个零点．   …（13分）
综上，m的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．