Question

13．设f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$，g（x）=ax+3-3a（a＞0），若对于任意x₁∈[0，2]，总存在x₀∈[0，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [1，2]
• C． [0，2]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 求解当x₁∈[0，2]，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$的值域，x₀∈[0，2]，g（x）=ax+3-3a（a＞0）值域，根据题意可知f（x）的值域是g（x）的值域的子集．可得a的取值范围．

解答 解：当x₁∈[0，2]，
函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$，
则f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x-1}}$，
令f′（x）=0，解得：x=1，
当x在（0，1）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1）上单调递增；
当x在（1，2）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，）上单调递减；
所以：当x=1时，f（x）取得最大值为1．
当x=0时，f（x）取得最小值为0．
故得函数f（x）的值域M∈[0，1]．
当x₀∈[0，2]，
∵a＞0
函数g（x）=ax+3-3a在其定义域内是增函数
当x=0时，函数g（x）取得取得最小值为：3-3a．
当x=2时，函数g（x）取得取得最大值为：3-a．
故得函数f（x）的值域N∈[3-3a，3-a]．
∵M⊆N，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-3a≤0}\\{3-a≥1}\end{array}\right.$，
解得：1≤a≤2．
故选B．

点评 本题考查了函数的单调性的运用求函数的值域问题，恒成立问题转化为不等式问题．属于中档题．