Question

19．已知a₁=3，a_n=2a_n-1+（t+1）•2ⁿ+3m+t（t，m∈R，n≥2，n∈N^*）
（1）t=0，m=0时，求证：$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是等差数列；
（2）t=-1，m=$\frac{4}{3}时，求证：\{{a_n}+3\}$是等比数列；
（3）t=0，m=1时，求数列{a_n}的通项公式和前n项和．

Answer 1

分析 （1）两边同除以2ⁿ，由等差数列的定义，即可得证；
（2）两边同加上3，由等比数列的定义，即可得证；
（3）两边同除以2ⁿ，可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1+$\frac{3}{{2}^{n}}$，即为$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1+$\frac{3}{{2}^{n}}$，再由数列恒等式，可得数列{a_n}的通项公式；再由错位相减法和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：t=0，m=0时，a_n=2a_n-1+2ⁿ，
两边同除以2ⁿ，可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1，
即有$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是首项为$\frac{3}{2}$，公差为1的等差数列；
（2）证明：t=-1，m=$\frac{4}{3}$时，a_n=2a_n-1+3，
两边同加上3，可得a_n+3=2（a_n-1+3），
即有数列{a_n+3}为首项为6，公比为2的等比数列；
（3）t=0，m=1时，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3，
两边同除以2ⁿ，可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1+$\frac{3}{{2}^{n}}$，
即为$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1+$\frac{3}{{2}^{n}}$，
即有得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$+（$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{2}$）+（$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$-$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$）+…+（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$）
=$\frac{3}{2}$+1+$\frac{3}{4}$+1+$\frac{3}{8}$+…+1+$\frac{3}{{2}^{n}}$，
=n-1+$\frac{\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=n+2-$\frac{3}{{2}^{n}}$，
则a_n=（n+2）•2ⁿ-3，
前n项和S_n=3•2+4•2²+5•2³+…+（n+2）•2ⁿ-3n，
可令R_n=3•2+4•2²+5•2³+…+（n+2）•2ⁿ，
2R_n=3•2²+4•2³+5•2⁴+…+（n+2）•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-R_n=3•2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+2）•2ⁿ⁺¹
=4+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-（n+2）•2ⁿ⁺¹
=2-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
则R_n═（n+1）•2ⁿ⁺¹-2，
S_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹-2-3n．

点评 本题考查数列的通项公式和求和方法，注意运用构造法和错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于难题．