题目内容

18．在平面直角坐标系xoy中，点T（-8，0），点R，Q分别在x和y轴上，$\overrightarrow{QT}•\overrightarrow{QR}=0$，点P是线段RQ的中点，点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）直线L与圆（x+1）2+y2=1相切，直线L与曲线E交于M，N，线段MN中点为A，曲线E上存在点C满足$\overrightarrow{OC}$=2λ$\overrightarrow{OA}$（λ＞0），求λ的取值范围．

分析 （1）设P（x，y）则R（2x，0），Q（0，2y），由$\overrightarrow{QT}•\overrightarrow{QR}=0$求曲线E的方程；
（2）先求出b的取值范围，再利用λ=1+$\frac{1}{4+2b}$，即可求λ的取值范围．

解答 解：（1）设P（x，y）则R（2x，0），Q（0，2y），由$\overrightarrow{QT}•\overrightarrow{QR}=0$得曲线E的方程为y2=4x，4（分）
（2）设直线L的方程为x=my+b，由L与圆相切得m2=2b+b2，…（I）
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+b}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$得y2-4my-4b=0，△=（-4m）2+16b＞0…（II）
由（I）（II）得b∈（-∞，-3）∪（0，+∞），8（分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），C（x，y）则${y_1}+{y_2}=4m，{x_1}+{x_2}=4{m^2}+2b$，
又$\overrightarrow{OC}$=2λ$\overrightarrow{OA}$（λ＞0），则x=λ（x1+x2），y=λ（y1+y2）
代入y2=4x中得${λ}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}=4λ（{x}_{1}+{x}_{2}）$，即λ=1+$\frac{1}{4+2b}$，则$λ∈（\frac{1}{2}，1）∪（1，\frac{5}{4}）$12（分）

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线位置关系的运用，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
8．已知函数f（x）=mlnx+（m-1）x（m∈R）．
（Ⅰ）当m=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．
9．已知f（x）=bx-b，g（x）=（bx-1）ex，b∈R
（Ⅰ）若b≥0，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求b的取值范围．
6．在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，平面BB1C1C⊥底面ABC，点M、D分别是线段AA1、BC的中点．
（1）求证：AD⊥CC1；
（2）求证：AD∥平面MBC1．
13．如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且$BD=\frac{1}{2}AB$．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．
3．如表示意某科技公司2012～2016年年利润y（单位：十万元）与年份代号x之间的关系，如果该公司盈利变化规律保持不变，则第n年（以2012年为第1年）年利润的预报值是y=2n2-n．（直接写出代数式即可，不必附加单位）
年份20122013201420152016
年份代号x12345
年利润/十万元16152845
10．若（1-8x5）（ax2-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）4的展开式中含x3项的系数是16，则a=±2．
7．设点F为抛物线y2=4x的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于点D（5，0），则|AF|+|BF|=（　　）
A．5B．6C．8D．10
8．已知关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则$\frac{b}{a}$的取值范围（　　）
A．（-1，0）B．$（-1，-\frac{1}{2}）$C．$（-2，-\frac{1}{2}）$D．（-2，+∞）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网