Question

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记作a，b，c．已知B=60°，且a，b，c成等差数列．
（1）求证：a，b，c成等比数列；
（2）若点D在边AC上，且$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DC}$，求∠CBD的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据a，b，c成等差数列以及正弦定理便可得出sinA+sinC=2sinB，进而得到sinA+sinC=$\sqrt{3}$，这样带入A=120°-C并根据两角和差的正弦公式即可求出C=60°，从而得出△ABC为等边三角形，a=b=c，从而得出a，b，c成等比数列；
（2）容易根据条件得出$DC=\frac{1}{3}AC$，可设等边三角形的边长为3，从而DC=1，这样在△BCD中由余弦定理即可求出BD的值，然后由正弦定理便可求出∠CBD的正弦值．

解答 解：（1）证明：由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；
∵a，b，c成等差数列；
∴2b=a+c；
即4RsinB=2RsinA+2RsinC，且B=60°；
∴$sinA+sinC=\sqrt{3}$；
∵A=120°-C；
∴sin（120°-C）+sinC=sin120°cosC-cos120°sinC+sinC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC+sinC$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{3}{2}sinC$
=$\sqrt{3}（\frac{1}{2}cosC+\frac{\sqrt{3}}{2}sinC）$
=$\sqrt{3}sin（30°+C）$
=$\sqrt{3}$；
∴sin（30°+C）=1；
∴30°+C=90°；
∴C=60°；
∴△ABC为等边三角形；
∴a=b=c；
∴a，b，c成等比数列；
（2）如图，
∵$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$；
∴$\overrightarrow{DC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
设等边三角形ABC的边长为3，则DC=1；
∴在△BCD中，由余弦定理得，BD²=BC²+DC²-2BC•DCcos60°=9+1-3=7；
∴$BD=\sqrt{7}$；
∴在△BCD中，由正弦定理得，$\frac{\sqrt{7}}{sin60°}=\frac{1}{sin∠CBD}$；
∴$sin∠CBD=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 考查等差数列、等比数列的定义，正弦、余弦定理，以及两角和差的正弦公式，三角形的内角和为180°，以及已知三角函数值求角．