Question

13．过抛物线τ：y²=8x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|=6，则抛物线τ的顶点到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根据抛物线方程可求得p的值，进而利用抛物线的定义可求x₁=4，即可求出直线AB的方程，根据点到直线的距离即可求出答案．

解答 解：y²=8x的焦点F（2，0），p=4
设A（x₁，y₁），
∵|AF|=x₁+$\frac{1}{2}$p=6，
∴x₁=4，
∴y₁²=8x₁=32，
∴y₁=4$\sqrt{2}$，
∴A（4，4$\sqrt{2}$），
∴直线AB的方程为$\frac{x-2}{4-2}$=$\frac{y-0}{4\sqrt{2}-0}$，即2$\sqrt{2}$x-y-4$\sqrt{2}$=0，
∴抛物线τ的顶点到直线AB的距离为d=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+1}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及抛物线的焦点弦问题时，常利用抛物线的定义较为简单．