Question

（本小题满分13分）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数。

（1）求闭函数符合条件②的区间[]；

（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；

（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）[-1，1] （2）不是闭函数（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为在R上单调递减，根据定义可知解方程就可以了.

（Ⅱ）f（x）不是定义域内的单调函数，不满足闭函数的定义.

（Ⅲ） 是单调递增函数，我们可以假设存在区间[a,b],使得解方程

在定义域内有两不同的根.

试题解析：（1）由题意，在[]上递减，则解得

所以，所求的区间为[-1，1]

（2）取则，即不是上的减函数。

取，

即不是上的增函数

所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。

（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实根，

即方程有两个不等的实根。

当时，有，解得。当时，有，无解。

综上所述，。

考点：新定义的应用，不等式