题目内容
12．等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式${a_1}{x^2}+（{\frac{d}{2}-{a_1}}）x+c≥0$的解集为$[{\frac{1}{3}，\frac{4}{5}}]$，则使数列{an}的前n项和Sn最小的正整数n的值为4．分析 根据已知中等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式${a_1}{x^2}+（{\frac{d}{2}-{a_1}}）x+c≥0$的解集为$[{\frac{1}{3}，\frac{4}{5}}]$，根据不等式解析的形式及韦达定理，判断出数列的首项为负，公差为正，并得到首项与公差之间的关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，则答案可求．
解答 解：∵不等式${a_1}{x^2}+（{\frac{d}{2}-{a_1}}）x+c≥0$的解集为$[{\frac{1}{3}，\frac{4}{5}}]$，
∴$\frac{1}{3}+\frac{4}{5}=\frac{{a}_{1}-\frac{d}{2}}{{a}_{1}}$，且a1＜0，
即${a}_{1}=-\frac{15}{4}d＜0$，则${a}_{5}={a}_{1}+4d=-\frac{15}{4}d+4d=\frac{d}{4}＞0$，
∴使数列{an}的前n项和Sn最小的正整数n的值为4．
故答案为：4．
点评 本题考查的知识是数列的函数特性，利用一元二次方程的根与系数的关系判断出公差为负，并得到首项与公差之间的关系是解答本题的关键，是中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{2}{3}$或$\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$或2 |