Question

18．已知x＞0，y＞0，且2x+8y-xy=0，则x+y的最小值是（　　）

• A． 16
• B． 20
• C． 18
• D． 24

Answer 1

分析 解法一：消元法，消去其中一个参数后，利用基本不等式求解最小值．
解法二，“乘1法”与基本不等式的性质求解．

解答 解：解法一：消元法
∵2x+8y-xy=0
∴y=$\frac{2x}{x-8}$
又∵x＞0，y＞0，
∴x-8＞0
那么：x+y=x+$\frac{2x}{x-8}$=$\frac{{x}^{2}-6x}{x-8}$=$\frac{（x-8）^{2}+10（x-8）+16}{x-8}$=$（x-8）+\frac{16}{x-8}+10≥2\sqrt{16}+10=18$
当且仅当x=12，y=6时取等号．
解法二，直接利用基本不等式
∵x＞0，y＞0，2x+8y=xy
那么：$\frac{2}{y}+\frac{8}{x}=1$
x+y=（x+y）（$\frac{2}{y}+\frac{8}{x}$）=10+$\frac{2x}{y}+\frac{8y}{x}$$≥2\sqrt{16}$+10=18
当且仅当x=12，y=6时取等号．
故选：C

点评 本题考查了基本不等式的灵活运用能力．属于基础题．