题目内容

盒内有大小相同的10个球，其中3个红色球，3个白色球，4个黑色球．
（1）现从该盒内任取3个球，规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得-1分，设三个球得分之和ξ，求ξ的分布列与数学期望；
（2）甲、乙两人做摸球游戏，设甲从该盒内摸到黑球的概率是
1
2
，已从该盒内摸到黑球的概率是
2
3
，甲，乙两人各摸球3次，求两人共摸中2次黑球的概率．
考点：互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式
专题：概率与统计
分析：（1）由题意可得ξ的取值为：3，2，1，0，-1，-2，-3，求得ξ取每个值的概率，可得ξ的分布列与数学期望．
（2）分别求得甲摸中2次黑球的概率、乙摸中2次黑球的概率、甲、乙二人各摸得一次黑球的概率，相加，即得所求．
解答： 解：（1）由题意可得ξ的取值为：3，2，1，0，-1，-2，-3，
且ξ取每个值的概率分别为：P（ξ=3）=
C
3
3
C
3
10
=
1
120
，P（ξ=2）=
C
2
3
•C
1
3
C
3
10
=
9
120
，P（ξ=1）=
C
1
3
•C
2
3
+C
2
3
•C
1
4
C
3
10
=
21
120
，
P（ξ=0）=
C
3
3
+C
1
3
•C
1
3
•C
1
4
C
3
10
=
37
120
，P（ξ=-1）=
C
1
4
•C
2
3
+C
2
4
•C
1
3
C
3
10
=
30
120
，P（ξ=-2）=
C
2
4
•C
1
3
C
3
10
=
18
120
，P（ξ=-3）=
C
3
4
C
3
10
=
4
120
，
∴ξ的分布列为：
 ξ 3 2 1 0-1-2-3
 P 
1
120
 
9
120
 
21
120
 
37
120
 
30
120
 
18
120
 
4
120
ξ的数学期望Eξ=3×
1
120
+2×
9
120
+1×
21
120
+0+（-1）×
30
120
+（-2）×
18
120
+（-3）×
4
120
=-
3
10
．
（2）甲摸中2次黑球的概率为
C
2
3
•(
1
2
)2•
1
2
•
C
3
3
•(
1
3
)3=
1
72
，乙摸中2次黑球的概率为
C
3
3
•(
1
2
)3•
C
2
3
•(
2
3
)2•
1
3
=
4
72
，
甲、乙二人各摸得一次黑球的概率为
C
1
3
•
1
2
•(
1
2
)2•
C
1
3
•
2
3
•(
1
3
)2=
6
72
，
故两人共摸中2次黑球的概率为
1
72
+
4
72
+
6
72
=
11
72
．
点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，互斥事件的概率加法公式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
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10
0
1
2
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x2
4
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（填序号）．

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