Question

18．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{e^x}$（a∈R，e为自然对数的底数，e≈2.71828）．
（1）若曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率为-1，求实数a的值；
（2）求f（x）在[-1，1]上的最大值g（a）；
（3）当a=0时，若对任意的x∈（0，1），恒有f（x）＞f（$\frac{m}{x}$），求正实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）求出f（x）的导数，求得单调区间，讨论a＞2，0≤a≤2，a＜0时，判断单调性，可得f（x）的最大值；
（3）求出f（x）的单调区间，判断0＜m＜1，取x=m，则有f（m）＞f（1），与f（x）在（-∞，1）上单调递增矛盾，所以只有m≥1．由条件只要证明$f（x）＞f（\frac{1}{x}）$在区间（0，1）上恒成立，通过化简整理，构造函数，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x+a}{e^x}$的导数为$f'（x）=\frac{{{e^x}-（x+a）{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=\frac{1-x-a}{e^x}$，
即有在x=0处的切线的斜率为f'（0）=1-a=-1，
解得a=2；
（2）由f'（x）＞0，得x＜1-a；由f'（x）＜0，得x＞1-a．
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，1-a），单调递减区间是（1-a，+∞）．
当1-a＜-1，即a＞2时，f（x）在[-1，1]上单调递减，
f（x）_max=f（-1）=（a-1）e；
当-1≤1-a≤1，即0≤a≤2时，
x=1-a为f（x）在区间[-1，1]上的极大值点，也是最大值点，
可得$f{（x）_{max}}=f（1-a）=\frac{1}{{{e^{1-a}}}}$；
当1-a＞1，即a＜0时，f（x）在[-1，1]上单调递增，
$f{（x）_{max}}=f（1）=\frac{1+a}{e}$．
故$g（a）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1+a}{e}，a＜0\\ \frac{1}{{{e^{1-a}}}}，0≤a≤2\\（a-1）e，a＞2\end{array}\right.$；
（3）当a=0时，由（2）知，
f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
若0＜m＜1，取x=m，则有f（m）＞f（1），
与f（x）在（-∞，1）上单调递增矛盾，
所以只有m≥1．
当m≥1时，$\frac{m}{x}≥\frac{1}{x}＞1$，
所以$f（\frac{1}{x}）≥f（\frac{m}{x}）$，故只需$f（x）＞f（\frac{1}{x}）$，
即可满足$f（x）＞f（\frac{m}{x}）$．
下面证明$f（x）＞f（\frac{1}{x}）$在区间（0，1）上恒成立．
$f（x）＞f（\frac{1}{x}）$，即$\frac{x}{e^x}＞\frac{{\frac{1}{x}}}{{{e^{\frac{1}{x}}}}}$，即$x{e^{\frac{1}{x}}}＞\frac{1}{x}{e^x}$，即${x^2}＞{e^{x-\frac{1}{x}}}$，两边取对数，
得$lnx＞\frac{1}{2}（x-\frac{1}{x}）$．
构造函数$h（x）=lnx-\frac{1}{2}（x-\frac{1}{x}）$，则$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}（1+\frac{1}{x^2}）=\frac{{-{{（x-1）}^2}}}{{2{x^2}}}$，
对任意的x∈（0，1），h'（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，
所以h（x）＞h（1）=0，所以$lnx＞\frac{1}{2}（x-\frac{1}{x}）$．
综上可知，正实数m的最小值为1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法和不等式恒成立问题的解法，属于中档题．