题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$
（1）若 $数学公式$ ，x∈[1，3]，求函数 $数学公式$ 的值域；
（2）若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，求函数 $数学公式$ 的最大值，并求此时的 $数学公式$ ．

解：（1） $\text{[math]}$ =sinθx-cosθ= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$
∵x∈[1，3]，
∴ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，即函数的值域为 $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ ═sinθx-cosθ= $\text{[math]}$ sinθ-cosθ=2sin（θ- $\text{[math]}$ ）
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ≤θ- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
∴[g（θ）]_max=2，此时 $\text{[math]}$
分析：（1）利用向量的数量积的运算求得函数的解析式，把θ的值代入，进而利用x的范围确定y的范围．
（2）利用向量的数量积的运算求得函数的解析式，把x的值代入，利用两角和公式化简整理利用θ的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值，利用向量的基本知识求得 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了三角函数的最值，向量的数量积的运算．解题的关键是求得函数的解析式，利用函数的单调性求得答案．

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