Question

7．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦点在y轴上且离心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆的概率为（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{15}{32}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{5}{8}$

Answer 1

分析 根据椭圆的性质结合椭圆离心率，求出a，b满足的条件，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：∵在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤a≤5}\\{2≤b≤4}\end{array}\right.$，
若方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦点在y轴上且离心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{b＞a}\\{e=\frac{c}{a}＜\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
由e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得c＜$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a，
平方得c²＜$\frac{3}{4}$a²，即a²-b²＜$\frac{3}{4}$a²
即b²＞$\frac{1}{4}$a²，则b＞$\frac{1}{2}$a或b$＜-\frac{1}{2}$a（舍），
即$\left\{\begin{array}{l}{b＞a}\\{b＞\frac{1}{2}a}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则F（2，2），E（4，4），
则梯形ADEF的面积S=$\frac{（1+3）×2}{2}$=4，矩形的面积S=4×2=8，
则方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$表示焦点在y轴上且离心率小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆的概率P=$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
故选：C．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据椭圆的性质求出a，b的条件，求出对应的面积，利用数形结合是解决本题的关键．