Question

4．过原点的直线l与圆x²+y²-10x+24=0相交与A、B两点，
（Ⅰ）当弦AB长为$\sqrt{3}$时，求直线l的方程．
（Ⅱ）求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线l的方程为y=kx，利用弦AB长为$\sqrt{3}$，可得圆心到直线的距离d=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，即可求直线l的方程．
（Ⅱ）弦AB的中点M的轨迹是以OC为直径的圆在圆C内的部分，即可求弦AB的中点M的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，
圆x²+y²-10x+24=0可化为（x-5）²+y²=1，圆心坐标C（5，0），半径为1，
∵弦AB长为$\sqrt{3}$，
∴圆心到直线的距离d=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，∴k=±$\frac{\sqrt{11}}{33}$
∴直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{11}}{33}x$；
 （Ⅱ）弦AB的中点M的轨迹是以OC为直径的圆在圆C内的部分，方程为x²+y²-5x=0（$\frac{24}{5}≤x≤5$）

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，避免增解．