Question

已知f（x）=sinx，若将f（x）的图象先沿x轴向左平移

π

6

个单位，再将所得图象上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍，最后将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）设函数h（x）=g（x）-k（∈[-

π

2

，

π

2

]）的零点个数为m，试求m关于k的函数解析式．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：数形结合,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对函数的图象进行平移变换，进一步对函数图象进行伸缩变换，最后求出结果．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，可解得函数的单调增区间，由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，解得函数的单调减区间．
（3）由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间[-

π

2

，

π

2

]上的零点的个数为m，结合函数f（x）的图象可得结论．

解答： 解：（1）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动

π

6

个单位长度，所得图象的解析式是y=sin（x+

π

6

），
再将所得图象上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍，所得图象的解析式是y=4sin（x+

π

6

），
最后将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，所得图象的解析式是 g（x）=4sin（2x+

π

6

），
故函数g（x）的解析式为：g（x）=4sin（2x+

π

6

）．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，可解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z
∴函数y=4sin（2x+

π

6

）的单调增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
∴函数y=3sin（2x+

π

6

）+1的单调减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．
（3）∵函数h（x）=g（x）-k（k∈[-

π

2

，

π

2

]）的零点的个数为m，
即函数y=g（x）的图象和直线y=k在区间[-

π

2

，

π

2

]上的零点的个数为m，结合函数f（x）的图象可得：
当k＞4，或 k＜-4时，m=0；
当k=4，或 k=-4时，m=1；
当-4＜k＜-2，或-2＜k＜4时，m=2；
当k=-2时，m=3．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，方程根的存在性及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．