Question

14．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n²+2a_n=4S_n．
（1）求S_n；
（2）设b_n=（$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$）•$\sqrt{S_n}$，求数列{${\frac{1}{b_n}}\right.$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}a_n^2+2{a_n}=4{S_n}\\ a_{n+1}^2+2{a_{n+1}}=4{S_{n+1}}\end{array}\right.$，
两式作差得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，又数列{a_n}的各项都为正数，
∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2，
当n=1时，有${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$=4a₁，解得a₁=2，
∴数列{a_n}为等差数列，首项为2，公差为2．∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
（2）∵b_n=（$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$）•$\sqrt{S_n}$=（$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$）$•\sqrt{n（n+1）}$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}}•\frac{1}{{\sqrt{S_n}}}=\frac{{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}{{\sqrt{n（n+1）}}}=\frac{1}{{\sqrt{n}}}-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}$，
∴${T_n}=\sum_{i=1}^n{\frac{1}{b_i}}=\sum_{i=1}^n{（\frac{1}{{\sqrt{i}}}-\frac{1}{{\sqrt{i+1}}}）=1-\frac{1}{{\sqrt{n+1}}}}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．