Question

如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，PD=m，记二面角D-PB-C的大小为θ，若θ＜60°，求m的取值范围．

Answer 1

分析：由题意以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得A、B、C、P各点的坐标，得到向量

AC

、

BC

、

PC

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法解出

n

=(0，m，2)是平面PBC的一个法向量．由空间向量的夹角公式算出|cosθ|=|cos＜

AC

，

n

＞|=

m

2 • m2+4

，结合θ＜60°得

m

2 • m2+4

＞

1

2

，解之即可得到实数m的取值范围．

解答：解：∵PD⊥平面ABCD，DA⊥DC
∴DA、DC、DP两两互相垂直，
以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
可得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，m）

AC

=(-2，2，0)是平面PBD的一个法向量

BC

=(-2，0，0)，

PC

=(0，2，-m)
设平面PBC的法向量为

n

=(a，b，c)，可得

n • BC =-2a=0 n • PC =2b-mc=0

，解之得a=0，取c=2得b=

mc

2

=m
∴

n

=(0，m，2)，是平面PBC的一个法向量
二面角D-PB-C的大小为θ，则
|cosθ|=|cos＜

AC

，

n

＞|=|

AC • n

|AC| • |n|

|=

|-2•0+2m+0•2|

2 2 • m2+4

=

m

2 • m2+4

∵θ＜60°，
∴|cosθ|=cosθ＞

1

2

，得

m

2 • m2+4

＞

1

2

，解之得m＞2，即m的取值范围为（2，+∞）．

点评：本题在特殊四棱锥中给出二面角的大小小于60度，求参数m的取值范围．着重考查了线面垂直的判定与性质、利用空间坐标系研究二面角的平面角等知识，属于中档题．