Question

13．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，侧棱PD⊥底面ABCD，∠BCD=60°．
（I）若点F，E分别在线段AP，BC上，AF=2FP，BE=2EC．求证：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）问在线段AB上，是否存在点Q，使得平面PAB⊥平面PDQ，若存在，求出点Q的位置；否则，说明理由．

Answer 1

分析 （1）在AD上取点G，使AG=2DG，连结EG、FG，推导出平面EFG∥平面CPD，由此能证明EF∥平面PDC．
（2）取AB中点Q，连结DQ，PQ，推导出平面PDC⊥平面PDQ，从而在线段AB上，不存在点Q，使得平面PAB⊥平面PDQ．

解答 证明：（1）在AD取点G，使AG=2DG，连结EG、FG
∵F，E分别在线段AP，BC上，AF=2FP，BE=2EC，
∴FG∥PD，EG∥CD，
∵FG∩EG=G，PD∩CD=D，
FG、EG?平面EGF，PD、DC?平面PDC，
∴平面EFG∥平面CPD，
∵EF?平面EFG，∴EF∥平面PDC．
（2）在线段AB上，不存在点Q，使得平面PAB⊥平面PDQ．
理由如下：
取AB中点Q，连结DQ，PQ，
∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，侧棱PD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，
∴DQ⊥CD，DQ⊥AB，DQ⊥PD，
∵PD∩CD=D，∴DQ⊥平面PDC，
∵DQ?平面PDQ，∴平面PDC⊥平面PDQ，
∵PAB与平面PDC相交，
∴在线段AB上，不存在点Q，使得平面PAB⊥平面PDQ．

点评 本题考查线面平行的证明，查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．