Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且满足cos²B+$\frac{1}{2}$sin2B=1，0＜B＜$\frac{π}{2}$，若|$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$|=3，则$\frac{16b}{ac}$的最小值为$\frac{32-16\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 使用二倍角公式化简解出B，使用余弦定理得出ac的最大值，代入计算即可．

解答 解：∵cos²B+$\frac{1}{2}$sin2B=1，∴$\frac{1}{2}$（1+cos2B）+$\frac{1}{2}$sin2B=1，即sin2B+cos2B=1．
两边平方得2sin2Bcos2B=0，即sin4B=0，
∵0＜B＜$\frac{π}{2}$，∴0＜4B＜2π．
∴4B=π，即B=$\frac{π}{4}$．
∵|$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=b=3，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-9}{2ac}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²+c²=9+$\sqrt{2}ac$≥2ac，
∴ac≤$\frac{9（2+\sqrt{2}）}{2}$．
∴当ac=$\frac{9（2+\sqrt{2}）}{2}$时，$\frac{16b}{ac}$=$\frac{48}{ac}$取得最小值$\frac{32-16\sqrt{2}}{3}$．
故答案为$\frac{32-16\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，余弦定理的应用，属于中档题．