题目内容
1．已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…Pn（an，bn），（n为正整数）都在函数y=（$\frac{1}{2}$）x的图象上．（1）若数列{an}是等差数列，证明：数列{bn}是等比数列；
（2）设an=n，（n∈N+），过点Pn，Pn+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为cn，试求最小的实数t，使cn≤t对一切正整数n恒成立；
（3）对（2）中的数列{an}，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入3k-1个3，得到一个新的数列{dn}，设Sn是数列{dn}的前n项和，试探究2016是否是数列{Sn}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．
分析 （1）设数列{an}的公差为d，推导出$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=（$\frac{1}{2}$）d，（常数），由此能证明数列{bn}是等比数列．
（2）若an=n，则${b}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$，推导出cn-cn+1＞0，从而数列{cn}随n增大而减小，进而${c}_{n}≤{c}_{1}=\frac{9}{8}$．由此能求出最小的实数t的值为$\frac{9}{8}$，使cn≤t对一切正整数n恒成立．
（3）an=n，数列{dn}中，从第一项a1开始到ak为止，（含ak项）的所有项的和是$\frac{k（k+1）}{2}+\frac{{3}^{k}-3}{2}$，从而能推导出2016不是其中的一项．
解答 证明：（1）设数列{an}的公差为d，由已知得${b}_{n}=（\frac{1}{2}{）^{{a}_{n}}}_{\;}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=（$\frac{1}{2}$）d，（常数），
∴数列{bn}是等比数列．
解：（2）若an=n，则${b}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴${P}_{n}（n，（\frac{1}{2}）^{n}）$，Pn+1（n+1，（$\frac{1}{2}$）n+1），${k}_{{P}_{n}{P}_{n+1}}$=$\frac{（\frac{1}{2}）^{n+1}-（\frac{1}{2}）^{n}}{（n+1）-n}$=-（$\frac{1}{2}$）n+1，
直线PnPn+1的方程为$y-（\frac{1}{2}）^{n}=-（\frac{1}{2}）^{n+1}（x-n）$，
它与x轴，y轴分别交于点An（n+2，0），Bn（0，$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$），
∴cn=$\frac{1}{2}•|O{A}_{n}|•$|OBn|=$\frac{（n+2）^{2}}{{2}^{n+2}}$，
cn-cn+1=$\frac{（n+2）^{2}}{{2}^{n+2}}-\frac{（n+3）^{2}}{{2}^{n+3}}$=$\frac{{n}^{2}+2n-1}{{2}^{n+3}}$＞0，
∴数列{cn}随n增大而减小，
∴${c}_{n}≤{c}_{1}=\frac{9}{8}$．
∴最小的实数t的值为$\frac{9}{8}$，使cn≤t对一切正整数n恒成立．
（3）2016不是数列{Sn}中的某一项，证明如下：
∵an=n，∴数列{dn}中，从第一项a1开始到ak为止，（含ak项）的所有项的和是：
（1+2+…k）+（31+32+…+3k-1）=$\frac{k（k+1）}{2}+\frac{{3}^{k}-3}{2}$，
当k=7时，其和为：28+$\frac{{3}^{7}-3}{2}$=1120＜2016，
而当k=8时，其和是36+$\frac{{3}^{8}-3}{2}$=3315＞2016，
∵2016-1120=896=298×3+2，不是3的倍数，
∴不存在自然数m，使Sm=2016．
∴2016不是数列{Sn}中的某一项．
点评 本题考查等比数列的证明，考查满足条件的实数的最小值的求法，考查2016是否是数列中的某一项的探究与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列性质、作差法、数列求和等知识点的合理运用．
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2$\sqrt{2}$-1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．| A． | [1，3] | B． | （2，3] | C． | （1，2） | D． | [1，2] |