Question

5．某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如A→C→D算两个路段：设路段AC发生堵车事件的概率为$\frac{1}{10}$，路段CD发生堵车事件的概率为$\frac{1}{15}$）．
（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车的次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）记路段MN发生堵车事件为MN，根据各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P₁=1-P（$\overline{AB}$•$\overline{CD}$•$\overline{DB}$），同理得路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P₂=
1-P（$\overline{AC}$•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$），路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P₃=1-P（$\overline{AE}$•$\overline{EF}$•$\overline{FB}$），然后比较即可；
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3，然后利用互斥事件与对立事件的公式分别求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可．

解答 解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN．
因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，
所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P₁=1-P（$\overline{AC}$•$\overline{CD}$•$\overline{DB}$）=1-P（$\overline{AC}$）•P（$\overline{CD}$）•P （$\overline{DB}$）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]=1-$\frac{9}{10}$$•\frac{14}{15}•\frac{5}{6}=\frac{3}{10}$，
同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P₂=1-P（$\overrightarrow{AC}•\overline{EF}•\overline{FB}$）=$\frac{239}{800}$（小于$\frac{3}{10}$），
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P₃=1-P（$\overline{AE}$•$\overline{EF}$•$\overline{FB}$）=$\frac{91}{300}$（大于$\frac{3}{10}$）
要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．
因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（$\overline{AC}$•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$）=$\frac{561}{800}$，
P（ξ=1）=P（AC•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$）+P（$\overline{AC}$•CF•$\overline{FB}$）+P（$\overline{AC}$•$\overline{CF}$•FB）=$\frac{1}{10}$×$\frac{17}{20}$×$\frac{11}{12}$+$\frac{9}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{11}{12}$+$\frac{9}{10}$×$\frac{17}{20}$×$\frac{1}{12}$=$\frac{637}{2400}$，
P（ξ=2）=P（AC•CF•$\overline{FB}$）+P（AC•$\overline{CF}$•FB）+P（$\overline{AC}$•CF•FB）=$\frac{1}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{11}{12}$+$\frac{1}{10}$×$\frac{17}{20}$×$\frac{1}{12}$+$\frac{9}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{1}{12}$=$\frac{77}{2400}$，
P（ξ=3）=P（$\overline{AC}$•$\overline{CF}$•$\overline{FB}$）=$\frac{1}{10}$×$\frac{3}{20}$×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2400}$．
∴Eξ=0×$\frac{561}{800}$+1×$\frac{637}{2400}$+2×$\frac{77}{2400}$+3×$\frac{3}{2400}$=$\frac{1}{3}$．
∴路线A→C→FB中遇到堵车次数的数学期望为$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件和离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．