Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n为奇数）}\\{{a}_{n}（n为偶数）}\end{array}\right.$，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，求得a₂，由n＞1时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n+1=10a_n，运用等差数列的通项公式，即可得到所求通项；
（2）求得b_n，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）a₁=10，a_n+1=9S_n+10，①
可得a₂=9S₁+10=9a₁+10=90+10=100，
当n＞1时，a_n=9S_n-1+10，②
①-②可得a_n+1-a_n=9（S_n-S_n-1）=9a_n，
即为a_n+1=10a_n，
即有a_n=a₂•10^n-2=10ⁿ，
对n=1也成立．
可得a_n=10ⁿ（n∈N^*）；
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n为奇数）}\\{{a}_{n}（n为偶数）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n为奇数）}\\{1{0}^{n}，（n为偶数）}\end{array}\right.$．
则数列{b_n}的前2n项和T_2n=（1+5+9+…+4n-3）+（10²+10⁴+…+10²ⁿ）
=$\frac{1}{2}$n（1+4n-3）+$\frac{100（1-1{00}^{n}）}{1-100}$=2n²-n+$\frac{10{0}^{n+1}-100}{99}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列通项与前n项和的关系：n=1时，a₁=S₁；n＞1时，a_n=S_n-S_n-1．考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等差数列和等比数列的求和公式，属于中档题．