Question

10．设双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求：
（1）双曲线的标准方程．
（2）若直线L过A（-1，2），且与双曲线渐近线y=kx（k＞0）垂直，求直线L的方程．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的焦点，求得A的坐标，设出双曲线的方程，由题意可得a²+b²=9，$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{15}{{b}^{2}}$=1，解得a，b，即可得到所求方程；
（2）求得双曲线的渐近线方程，可得k，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及点斜式方程即可得到所求方程．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1的焦点为（0，3），（0，-3），
交点A的纵坐标为4，可得A（±$\sqrt{15}$，4），
设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得a²+b²=9，$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{15}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=$\sqrt{5}$，
则双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1；
（2）双曲线$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
由题意可得k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则直线l的斜率为-$\frac{1}{k}$=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即有直线l的方程为y-2=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x+1），
即为$\sqrt{5}$x+2y+$\sqrt{5}$-4=0．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的焦点和点满足双曲线方程，考查直线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于基础题．