Question

20．若函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），满足f（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函数”，0是它的均值点．若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点，则lnx₀与$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$的大小关系是（　　）

• A． lnx₀=$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$
• B． lnx₀≤$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$
• C． lnx₀≥$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$
• D． lnx₀＜$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$

Answer 1

分析 猜想判断lnx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，换元转化为h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$，利用导数证明．

解答 解：由题知lnx₀=$\frac{lnb-lna}{b-a}$，
猜想：lnx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
证明如下：$\frac{lnb-lna}{b-a}$＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
令t=$\sqrt{\frac{b}{a}}$＞1，原式等价于lnt²＜t-$\frac{1}{t}$，
2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜0，
令h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$（t＞1），
则h′（t）=$\frac{2}{t}$-1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=-$\frac{{（t-1）}^{2}}{t}$＜0，
∴h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜h（1）=0，
得证lnx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
故选：D．

点评 本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．