Question

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若点D为边AC的中点，AB=2，BC=1，求BD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得cosBsinC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，又sinC≠0，从而可求tanB=-$\sqrt{3}$，结合B为三角形内角，即可得解B的值．
（Ⅱ）由D为边AC的中点，可得2$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，两边平方，即可得解BD的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵a=bcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$csinB，
∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴sin（B+C）=sinBcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
∴cosBsinC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinCsinB，
又∵C为三角形内角，可得sinC≠0，
∴tanB=-$\sqrt{3}$，
又∵B为三角形内角，可得B=$\frac{2π}{3}$…（6分）
（Ⅱ）如图，∵点D为边AC的中点，
∴2$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，
∴两边平方可得：4|$\overrightarrow{BD}$|²=|$\overrightarrow{BA}$|²+2|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•cos∠ABC+|$\overrightarrow{BC}$|²，…（9分）
又∵由（Ⅰ）知B=$\frac{2π}{3}$，且AB=2，BC=1，
∴4|$\overrightarrow{BD}$|²=3，解得：BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了转化思想，属于中档题．