Question

20．求下列函数的最值；
（1）f（x）=-x³+9x²-24x+10，x∈[0，3]；
（2）f（x）=sin2x-x，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]；
（3）f（x）=$\frac{1-x+{x}^{2}}{1+x-{x}^{2}}$，x∈[0，1]．

Answer 1

分析 分别求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最值．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+18x-24=-3（x-2）（x-4），
令f′（x）＞0，解得：2＜x＜4，令f′（x）＜0，解得：x＞4或x＜2，
∴f（x）在[0，2]递减，在（2，3]递增，
∴f（x）的最大值是f（0）或f（3），最小值是f（2），
而f（0）=10，f（3）=-8，f（2）=-10，
∴函数的最大值是10，最小值是-10；
（2）f（x）=sin2x-x，x属于[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
f′（x）=2cos2x-1，
∵x属于[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
∴2x∈[-π．π]，
令f′（x）＜0，得 cos2x＜$\frac{1}{2}$，
解得：x＞$\frac{π}{6}$或x＜-$\frac{π}{6}$，
令f′（x）＞0，得 cos2x＞$\frac{1}{2}$，
解得：-$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{6}$，
∴f（x）在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）递减，在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）递增，在（$\frac{π}{6}$，π]递减，
∴f（x）_最大值=$\frac{π}{2}$，f（x）_最小值=-$\frac{π}{2}$；
（3）x∈[0，1]时，分母1+x-x²＞0，
f′（x）=$\frac{2（2x-1）}{{（1+x{-x}^{2}）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，1]递增，
∴f（x）的最大值是f（0）或f（1），f（x）的最小值是f（$\frac{1}{2}$），
而f（0）=f（1）=1，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{5}$，
∴f（x）_max=1，f（x）_min=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了求函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．