Question

正数a，b满足2a+b=1，且2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

A．（-∞， 2 2 ]

B．[ 2 2 ，+∞）

C．[- 2 2 ， 2 2 ]

D．[ 1 2 ，+∞）

Answer 1

∵a＞0，b＞0，2a+b=1，
∴4a²+b²=1-4ab，
∴2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立，转化为t≥2

ab

+4ab-

1

2

恒成立，
令f（a，b）=2

ab

+4ab-

1

2

=4（ab+

1

2

ab

-

1

2

）=4(

ab

+

1

4

) 2-

1

4

，
又由a＞0，b＞0，2a+b=1得：1=2a+b≥2

2ab

，
∴ab≤

1

8

（当且仅当a=

1

4

，b=

1

2

时取“=”）；
∴f（a，b）_max=4(

1 8

+

1

4

)2-

1

4

=

2

2

．
t≥

2

2

．
故选B．